LÓGICA CUANTIFICACIONAL
Se hace una afirmación en el sentido que un objeto o conjunto de objetos tienen una determinada propiedad o característica.
Término:
· Sujeto: a la palabra o palabras con las que se refiere uno a un objeto.
· Predicado: es la propiedad o característica que se afirma del sujeto en una proposición.
Proposiciones:
· Singulares: es cuando el predicado se afirma de un objeto o sujeto individual, ya sea persona, país, etc.
· Universales: es cuando el predicado se dice de todos los objetos de un conjunto, ya sea estos personas, cosas concretas, abstráctos, etc.
· Particulares: es cuando el predicado se aplica aparte de los objetos que componen un conjunto
En el lenguaje natural se utilizan constantemente las proposiciones singulares, universales y particulares, no solo afirmando, sino también negando.
SÍMBOLOS DE LOS CUANTIFICADORES
1. Las letras mayúsculas A, B, C, …hasta Z se utilizan para representar los predicados y se les llama letras predicativas
2. Las letras minúsculas a, b, c …hasta w, se utilizan para representar a individuos particulares y se les llama constantes individuales.
3. Las letras minúsculas x, y, y z, se utilizan para representar a cualquier individuo y se llaman variables individuales.
4. El símbolo A invertida " símbolo que es el cuantificador universal y se lee "para todo" "para alguno". ~" invertida (ninguno)
5. El símbolo $ significa existe y se llama cuantificador existencial.
Ejemplos:
· 4 es par à Pc Þ se lee c es P
· El hidrógeno es un gas à Gh Þ se lee h es G
· 7 no es par à ~Ps Þ se lee s no es P
· El aluminio no es un gas à ~Ga Þ se lee a no es G
Su forma general es Px (proposición singular afirmativa)
Venus tiene atmósfera, à Av
Jupiter tiene atmósfera, à Aj
Tierra tiene atmósfera à At
Para toda x; si x es un planeta entonces tiene atmósfera
("x) (Px à Ax)
Todos los gordos son simpáticos
("x) (Gx à Sx)
Ningún niño es malo
("x) (Nx à Mx)
Ningún molusco es vertebrado
("x) (Mx à ~Vx)
Existe al menos una x tal que x es elemento es radiactivo
($x) (Ex ^ Rx)
Algunos elementos no son radiactivos
($x) (Ex ^ ¬Rx)
Algunos vertebrados son aves
($x) (Vx ^ Ax)
Algunos vertebrados no son aves
($x) (Vx ^ ¬Ax)
Ningún insecto es vertebrado
("x) (Ix à ¬Vx)
Todos los hombres son vertebrados
("x) (Hx à Vx)
Cuadro de oposición de las proposiciones
El cuadro de oposición de las proposiciones referido a las proposiciones universales y la las particulares
Se utilizan las letras:
A à Universales afirmativas
E à Universales negativas
I à Particulares afirmativas
O à Particulares negativas
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| CUADRO DE OPOSICIÓN DE LAS PROPOSICIONES |
Proposiciones contradictorias, dos proposiciones contradictorias entre sí, significan que no pueden ser simultáneamente verdaderas ni tampoco simultáneamente falsas; necesariamente una es verdadera y una es falsa.
Ejemplo:
Contrarias à todos los hombres son infieles algunos hombres son infieles
Contradictoria à ninguna suegra es mala,
Dos proposiciones contrarias no pueden ser simultáneamente verdaderas, aunque si pueden ser simultáneamente falsas.
Contrarias:
A à verdadera à E es falsa
Todos los mamíferos son vertebrados à ningún mamífero es vertebrado.
E à verdadera à A es falsa
Ningún molusco es vertebrado à todos los moluscos son vertebrados
A à falsa E puede ser falsa o verdadera
Todos los hombres son mentirosos, à ningún hombre es mentiroso
Todos los hombres son invertebrados, à ningún hombre es invertebrado
E à falsa, A puede ser falsa o verdadera
Ningún elemento es gaseoso à todos los elementos son gaseosos
Ningún elemento tiene valencia à todos los elementos tienen valencia
Subcontrarias: no pueden ser simultáneamente falsas pero si simultáneamente verdaderas
Argumentos en la Lógica Cuantificacional
1.- Ley de Ejemplificación Universal (EU)
Para toda x si x es p, entonces a es p ("x)Px
ß
Pa
Todas las estrellas brillan con luz propia ("x) (Ex à Bx)
Sirio es una estrella Es
ß
Sirio brilla con luz propia Bs puede queda Es à Bs
Todas las repúblicas soviéticas son repúblicas socialistas
Todas las repúblicas socialistas tiene economía centralizada
Ucrania es una república soviética
ß
Ucrania tiene economía centralizada
("x) (Rx à Sx)
("x) (Sx à Cx)
Ru
ß
Ru àSu (1, EU)
Su à Cu (2, EU)
Ru à Cu (4, 5, sh)
Su (3, 6 mpp)
2.- Ley de Generalización Universal (GU)
Pa
ß
("x)Px
Ningún reptil tiene sangre caliente
Todas las víboras son reptiles
ß
Ninguna víbora tiene sangre caliente
Procedimiento general para probar formalmente la validez de argumentos que contienen proposiciones universales o particulares.
Se eliminan los cuantificadores universales
Se aplican las leyes de equivalencia e implicación correspondientes
Se añaden los cuantificadores necesarios
("x) (Rx à ¬Sx)
("x) (Vx à Rx)
ß
Ra à ¬Sa (1, EU)
Va à Ra (2, EU)
Va à ¬Sa (3, 4, Sh)
("x) (Vx à ¬Sx) (5, GU)
Todos los mexicanos son americanos
Ningún americano es europeo
Todos los sonorenses son mexicanos
ß
Ningún sonorense es europeo
("x) (Mx à Ax)
("x) (Ax à ¬Ex)
("x) (Sx à Mx)
ß
Ma à Aa (1, EU)
Aa à ¬Ea (2, EU)
Sa à Ma (3, EU)
Ma à ¬Ea (4, 5 Sh)
Sa à ¬Ea (6, 7 Sh)
("x) (Sx à ¬Ex) (8 EU)
3.- Ley de Ejemplificación Existencial (EE)
($x)Px
ß
Pa
Todos los dictadores son ególatras
Algunos dictadores son generales
ß
Algunos generales son ególatras
("x) (Dx àEx)
($x) (Dx à Gx)
ß
Da à Ea (1, EU)
Da ^ Ga (2, EE)
Da (4, simp)
Ea (3, 5 mpp)
Ga (4, simp)
Ga ^ Ea (6, 7, conj)
($x) (Gx ^ Ex) (8,EE)
4.- Ley de Generalización Extensial (GE)
Pa
ß
($x)Px
