Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposiciones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:
- Proposición Tautológica, o Tautología: aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siespre es V (verdadero). Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras.
Tabla de verdad de: p -> (p v q)
p | q | --> | (p v q) |
| VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO |
- Proposición Contradictoria, o Contradicción: proposición compuesta que es falsa en todos los casos, independientemente del valor de verdad de sus proposiciones simples.
Tabla de verdad de: (p ^ q)^
p | q | (p ^ q) | ^ |
| VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO |
| VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO |
| FALSO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| FALSO | FALSO | FALSO | FALSO |
- Proposición Contingente, o Contingencia o Indeterminada: proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falsa en otro, dependiendo del valor de verdad de sus proposiciones simples componentes.
Tabla de verdad de : p <--> ¬q
p | q | <--> | ¬q |
| VERDADERO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| FALSO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO |
| FALSO | FALSO | FALSO | VERDADERO |
- p <--> ¬p ==> contradicción
- (p<--> ¬p) ^ (p v ¬p) ==> contradicción
- (p <--> ¬q) v (p v ¬p) ==> tautología
p --> q ==> proposición directa *
q --> p ==> proposición recíproca **
¬p --> ¬q ==> proposición inversa **
¬q --> ¬p ==> proposición contrapositiva*
* Proposiciones Equivalentes
** Proposiciones Equivalentes
Demostración con Tablas de Verdad:p | q | p --> q | q --> p | ¬p --> ¬q | ¬q --> ¬p |
| VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| VERDADERO | FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO |
| FALSO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | FALSO | VERDADERO |
| FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| Equivalentes |
| Equivalentes |
Ejemplo 1
- SI el HG es un metal ENTONCES el mercurio es un buen conductor de la electricidad.
- El Hg es metal <--
- El Hg es buen condutor de la electricidad.
- p --> q
- p <--
- q
| [(p --> q) ^ p ] --> q | ||||
p | q | (p --> q) | ^ p | --> q |
| VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO | VERDADERO |
| FALSO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
Aunque los argumentos están construidos con proposiciones no son falsos, ni verdaderos, sino correcta o incorrectamente construidos, es decir válidos o no válidos (su tabla de verdad sera tautológica).
| Misma regla de la condicional | ||
Premisas | Conclusión | Argumentos |
| VERDADERO | VERDADERO | VÁLIDO |
| VERDADERO | FALSO | NO VÁLIDO |
| FALSO | VERDADERO | VÁLIDO |
| FALSO | FALSO | VÁLIDO |
Ejemplo 2:
1. SI en la Luna hay vida ENTONCES en la Luna hay agua.
2. No ocurre que en la Luna hay vida
ß
3. No es cierto que en la Luna hay agua
1. r à s
2. ¬ r
ß
3. ¬ s
| [(r --> s) ^ ¬ r] --> ¬ s | ||||||
r | s | (r --> s) | ^ | ¬ r | --> | ¬ s |
| VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
Para que un argumento sea válido, se requiere que al ser transformado en una proposición condicional sea tautoógica.
1. SI Madrid es la capital de España ENTONCES Madrid es una ciudad europea.
2. Madrid es una ciudad europea
ß
3. Madrid es la capital de España
1. p à q
2. q
ß
3. p
| [(p -->q) ^ q] --> p | ||||
| p | q | p --> q | ^ q | --> p |
| VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO | VERDADERO |
| FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO |
| FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
Leyes de Implicación
Se dice que una proposición compuesta es una implicación cuando es tautológica y su conectiva principal es una condicional.
Las leyes de implicación son las formas básicas que pueden tener los argumentos válidos, de manera tal que si un argumento cualquiera tienen la misma forma de una ley de implicación entonces es un argumento válido.
1) Modus Ponendo Ponens (mpp) – afirmando afirmo
1. p à q
2. p
ß
3. q
1. SI Suecia es una democracia ENTONCES el pueblo sueco determina su forma de gobierno y el pueblo elige a sus gobernantes
2. Suecia es una democracia
ß
3. El pueblo sueco determina…
1. s à (q ^ r)
2. s
ß
3. q ^ r de 1, 2 (mpp)
2) Modus Tolendo Tolens (mtt) – negando niego
3) Modus Tolendo Ponens (mtp) – negando afirmo
1. p v q
2. ¬ p
ß [(p v q) ^ ¬ p] à q
3. q
1. p v q
2. ¬ q
ß [(p v q) ^ ¬ q] à p
3. p
4) Ley del Silogísmo Hipotético
1) p à q
2) q à r
ß [(p à q) ^ (q à r)] à (p à r)
3) p à r
1) SI un hombre es libre ENTONCES es responsable de su conducta
2) SI un hombre es responsable de su conducta ENTONCES evita acciones negativas
ß
3) SI un hombre es libre evita realizar acciones negativas
5) Ley de la Simplificación (se aplica a la conjunción)
1) p ^ q
ß
2) p
1) p ^ q
ß
2) q
6) Ley de Conjunción (conj)
1) p
2) qr
ß (p ^ q) à (p ^ q)
3) p ^ q
7) Ley de Adición (ad)
1) p
ß p à p v q
2) p v q
Proposición Compuesta
Una proposición compuesta es una equivalencia cuando es tautológica y su conectiva principal es una bicondicional.
| (p --> q) <--> ¬ (p ^ ¬ q) | |||||
p | q | (p --> q) | (p ^ ¬ q) | ¬(p ^ ¬ q) | <--> |
| VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| VERDADERO | FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| FALSO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
Proposiciones Equivalentes
Si dos proposiciones son equivalentes significa que pueden sustituirse entre sí en un argumento cualquiera.
Las leyes de equivalencia más usuales son:
1) Leyes de conmutatividad (com)
a. (p v q) Ξ (q v p)
b. (p ^ q) Ξ (q ^ p)
2) Leyes de asociatividad (asoc)
a. (p v q) v r Ξ p v (q v r)
b. (p ^ q) ^ r Ξ p ^ (q ^ r)
3) Leyes de distributividad (distr)
a. p ^ (q v r) Ξ (p ^ q) v (p ^ r)
b. p v (q ^ r) Ξ (p v q) ^ (p v r)
4) Leyes De Morgan (DeM)
a. [¬ (p ^ q)] Ξ [¬p v ¬q]
b. [¬ (p v q)] Ξ [¬p ^ ¬q]
5) Ley de exportación (exp)
a. [ (p ^ q)à r Ξ p à (q à r)]
6) Ley de contraposición (contr)
a. [ (p à q)] Ξ [(¬q à ¬ p)]
Demostración formal
1) SI el destino existe ENTONCES el hombre carece de libertad
2) No es cierto que el hombre carece de libertad
ß
3) ¬ p (1, 2 mtt)
***************
1) El átomo es divisible o el átomo es indivisible
2) SI el átomo es divisible ENTONCES el átomo no es la parte más pequeña de la materia.
3) No es cierto que el átomo es indivisible
4) SI el átomo es indivisible ENTONCES el átomo es la parte más pequeña de la materia
5) No es cierto que el átomo es divisible.
1) p v q
2) p ß ¬ r
3) ¬ q
ß
5) p (1, 3 mtp)
6) ¬ r (2, 4 mpp)
************
1) Si 4 es impar ENTONCES 4 divisible entre 3
2) Si 4 no es impar ENTONCES 4 es par
3) 4 no es divisible entre 3
1) ¬ q
ß
2) ¬ p (1, 3 mtt)
3) r (2, 4 mpp)
************
1) El delfín es mamífero y el delfín es domesticable
2) SI el delfin es mamífero entonces el delfín tiene respiración pulmonar
1) p ^ q
2) p à r
ß
3) p (1, simp)
4) r (2, 3 mpp)
************
1) SI el hombre tiene conciencia y el hombre tiene libertad, entonces el hombre es responsable de sus actos (p ^q) à r
2) El hombre tiene conciencia p
3) El hombre tiene libertad q
ß
4) p ^ q (2, 3 conj)
5) r (1,4 mpp)
***********
1) Los terremotos tienen una causa sobrenatural o los terremotos son fenómenos naturales p v q
2) Si los terremotos son fenómenos naturales entonces los fenómenos naturales obedecen a leyes q à r
3) Si los terremotos obedecen a leyes entonces los terremotos son predecibles. r à s
4) Los terremotos no tienen una causa sobrenatural ¬ p
ß
5) q (1,4 mtp)
6) q à s (2, 3 sh)
7) s (5, 6 mpp)
1. p à q
2. ¬ q
ß
3. ¬ p
1. SI la riqueza hace feliz a los hombre ENTONCES la riqueza hace buenos a los hombres.
2. No es cierto que la riqueza hace a los hombres buenos
ß
3. No es cierto que la riqueza hace felices a los hombres
**************
1. SI el delfin es un pez ENTONCES es ovíparo y tiene branquias.
2. No es cierto que un delfín sea ovíparo o tenga branquias
ß
3. No es cierto que un delfin es un pez
1. p à (q ^ r)
2. ¬ (q ^ r)
ß
3. ¬ p (1, 2 mtt)
