Clase del 13 de Julio de 2011

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Matriz Inversa por el

Método de Gauss-Jordan

AX=Y   matriz aumentada.

Solo son invertibles para sistemas cuadrados.

Sea A = (ai j  ) una matriz cuadrada  de coeficientes  orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz n ´ 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

 

Ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

 

 

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible). A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

 

,

 

 

, 

 

 

 

,

 

 

 

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.

por =