Unidad 1.- Lógica Cuantificacional - 01/06/11

LÓGICA CUANTIFICACIONAL

Se hace una afirmación en el sentido que un objeto o conjunto de objetos tienen una determinada propiedad o característica.

Término:

·         Sujeto: a la palabra o palabras con las que se refiere uno a un objeto.

·         Predicado: es la propiedad o característica que se afirma del sujeto en una proposición.

Proposiciones:

·         Singulares: es cuando el predicado se afirma de un objeto o sujeto individual, ya sea persona, país, etc.

·         Universales: es cuando el predicado se dice de todos los objetos de un conjunto, ya sea estos personas, cosas concretas, abstráctos, etc.

·         Particulares: es cuando el predicado se aplica aparte de los objetos que componen un conjunto

En el lenguaje natural se utilizan constantemente las proposiciones singulares, universales y particulares, no solo afirmando, sino también negando.

SÍMBOLOS DE LOS CUANTIFICADORES

1.   Las letras  mayúsculas  A, B, C, …hasta Z se utilizan para representar los predicados y se les llama letras predicativas

2.   Las letras  minúsculas a, b, c …hasta w, se utilizan para representar a individuos particulares y se les llama constantes individuales.

3.   Las letras minúsculas x, y, y z, se utilizan para representar a cualquier individuo y se llaman variables individuales.

4.   El símbolo A invertida " símbolo que es el cuantificador universal y se lee  "para todo" "para alguno". ~" invertida (ninguno)

5.   El símbolo $ significa existe y se llama cuantificador existencial.

Ejemplos:

·         4 es par à Pc Þ se lee c es P

·         El hidrógeno es un gas à Gh Þ se lee h es G

·         7 no es par à ~Ps Þ se lee s no es P

·         El aluminio no es un gas à ~Ga Þ se lee a no es G

Su forma general es Px (proposición singular afirmativa)

Venus tiene atmósfera, à Av

Jupiter tiene atmósfera, à Aj

Tierra tiene atmósfera à At

Para toda x; si x es un planeta entonces tiene atmósfera

("x) (Px à Ax)

Todos los gordos son simpáticos

("x) (Gx à Sx)

Ningún niño es malo

("x) (Nx à Mx)

Ningún molusco es vertebrado

("x) (Mx à ~Vx)

Existe al menos una x tal que x es elemento es radiactivo

($x) (Ex ^ Rx)

Algunos elementos no son radiactivos

($x) (Ex ^ ¬Rx)

Algunos vertebrados son aves

($x) (Vx ^ Ax)

Algunos vertebrados no son aves

($x) (Vx ^ ¬Ax)

Ningún insecto es vertebrado

("x) (Ix à  ¬Vx)

Todos los hombres son vertebrados

("x) (Hx à Vx)

Cuadro de oposición de las proposiciones

El cuadro de oposición de las proposiciones referido a las proposiciones universales y la las particulares

Se utilizan las letras:

A à Universales afirmativas

E à Universales negativas

I à Particulares afirmativas

O à Particulares negativas



CUADRO DE OPOSICIÓN DE LAS PROPOSICIONES

  

Proposiciones contradictorias, dos proposiciones contradictorias entre sí, significan que no pueden ser simultáneamente verdaderas ni tampoco simultáneamente falsas; necesariamente una es verdadera y una es falsa.

Ejemplo:

Contrarias à todos los hombres son infieles algunos hombres son infieles

Contradictoria à ninguna suegra es mala,

Dos proposiciones contrarias no pueden ser simultáneamente verdaderas, aunque si pueden ser simultáneamente falsas.

Contrarias:

A à verdadera à E es falsa

Todos los mamíferos son vertebrados à ningún mamífero es vertebrado.

E à verdadera à A es falsa

Ningún molusco es vertebrado  à todos los moluscos son vertebrados

A à falsa  E puede ser falsa o verdadera

Todos los hombres son mentirosos, à ningún hombre es mentiroso

Todos los hombres son invertebrados, à ningún hombre es invertebrado

E à falsa, A puede ser falsa o verdadera

Ningún elemento es gaseoso à todos los elementos son gaseosos

Ningún elemento tiene valencia à todos los elementos tienen valencia

Subcontrarias: no pueden ser simultáneamente falsas pero si simultáneamente verdaderas

Argumentos en la Lógica Cuantificacional

1.- Ley de Ejemplificación Universal (EU)

Para toda x si x es p, entonces a es p ("x)Px

ß

Pa

Todas las estrellas brillan con luz propia ("x) (Ex à Bx)

Sirio es una estrella Es

ß

Sirio brilla con luz propia Bs     puede queda Es à Bs

Todas las repúblicas soviéticas son repúblicas socialistas

Todas las repúblicas socialistas tiene economía centralizada 

Ucrania es una república soviética

ß

Ucrania tiene economía centralizada

("x) (Rx à Sx)

("x) (Sx à Cx)

Ru

ß

Ru àSu (1, EU)

Su à  Cu (2, EU)

Ru à Cu (4, 5, sh)

Su (3, 6 mpp)

2.-  Ley de Generalización Universal (GU)

Pa

ß

("x)Px

Ningún reptil tiene sangre caliente

Todas las víboras son reptiles

ß

Ninguna víbora tiene sangre caliente

Procedimiento general para probar formalmente la validez de argumentos que contienen proposiciones universales o particulares.

Se eliminan los cuantificadores universales

Se aplican las leyes de equivalencia e implicación correspondientes

Se añaden los cuantificadores necesarios

("x) (Rx à ¬Sx)

("x) (Vx à Rx)

ß

Ra à ¬Sa (1, EU)

Va à Ra (2, EU)

Va à ¬Sa (3, 4, Sh)

("x)  (Vx à ¬Sx) (5, GU)

Todos los mexicanos son americanos

Ningún americano es europeo

Todos los sonorenses son mexicanos

ß

Ningún sonorense es europeo

("x) (Mx à Ax)

("x) (Ax à ¬Ex)

("x) (Sx à Mx)

ß

Ma à Aa (1, EU)

Aa à ¬Ea (2, EU)

Sa à Ma (3, EU)

Ma à ¬Ea (4, 5 Sh)

Sa à ¬Ea (6, 7 Sh)

("x) (Sx à ¬Ex) (8 EU)

3.- Ley de Ejemplificación Existencial (EE)

($x)Px

ß

Pa

Todos los dictadores son ególatras

Algunos dictadores son generales

ß

Algunos generales son ególatras

("x) (Dx àEx)

($x) (Dx à Gx)

ß

Da à Ea (1, EU)

Da ^ Ga  (2, EE)

Da (4, simp)

Ea (3, 5 mpp)

Ga (4, simp)

Ga ^ Ea (6, 7,  conj)

($x) (Gx ^ Ex) (8,EE)

4.- Ley de Generalización Extensial (GE)

Pa

ß

($x)Px